Las yeguas de Parménides detuvieron la cuadriga frente a las puertas del día y de la noche. Las hijas del sol, que caminaban delante, persuadieron a la diosa con palabras suaves de que abriera las pesadas puertas. Guiaron a las yeguas por debajo del dintel y Parménides descendió al otro lado del umbral, donde le recibió la gentil diosa. Tomándole de la mano, le reveló la Verdad.
En la senda de la persuasión, que sigue a la Verdad, le dijo, debes preguntarte por lo que es y no puede no ser.
— Pues aquello de lo que se puede hablar y pensar debe ser, pues lo que es es, pero no es posible que la nada sea.
Si es imposible que lo que no es llegue a ser o que lo que es deje de ser, entonces es imposible nacer, morir, perecer, el movimiento… el cambio.
¿Pero cómo es posible el cambio? Es un problema filosófico tan desconcertante que ni siquiera sabemos qué aspecto podría tener la respuesta a una pregunta así. Podría tentarnos la idea de unirnos a Parménides y negar directamente la realidad del cambio, ¿pero cómo explicar entonces nuestras experiencias? Aunque fueran sólo ilusiones, no hay duda de que son ilusiones cambiantes. En cualquier caso, parece que Zenón de Elea, discípulo aventajado de Parménides, optó por aquella vía e ingenió varios argumentos que ponían de manifiesto la imposibilidad de cualquier movimiento.
Sin embargo, si aceptamos el movimiento como un hecho, los razonamientos de Zenón nos ponen en un compromiso. Si no queremos ser víctimas de las paradojas, entonces aceptar el movimiento supone rechazar otras intuiciones incompatibles con él.
La primera de las famosas paradojas del movimiento de Zenón afirma que un corredor no puede llegar de un lado al otro de un estadio. Primero, ha de llegar hasta la mitad del recorrido. Después, hasta la mitad del camino restante. Luego, la mitad de lo que quede, etc., y siempre tendrá por delante una mitad que cubrir antes de llegar a la meta. Pero entonces la carrera consiste en una serie infinita de tramos, es decir, la distancia será infinita, y también será infinito el tiempo que dedicará un corredor a avanzar hacia la meta.
Aquí supondremos que sí es posible recorrer de lado a lado un estadio. Esto implica que la suma de los infinitos tramos, la mitad más la mitad de la mitad, más la mitad de la mitad de la mitad, etc., debe ser igual a la longitud del estadio completo, es decir, \[ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \ldots = 1. \] Dado que nunca terminaríamos de hacer la suma si quisiéramos comprobar el resultado, debemos explicar qué queremos decir con los puntos suspensivos en el cálculo anterior.
La idea es ésta: cuantos más términos sumemos, más se aproximará el resultado a 1, y podemos reducir la diferencia entre 1 y la suma de la izquierda tanto como queramos simplemente añadiendo suficientes términos a la suma.
Para expresarlo todo con más precisión definiremos la suma parcial $S_n$ como la suma de los $n + 1$ primeros términos, de modo que \[ S_0 = \frac{1}{2}, \ S_1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}, \ S_2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}, \ \ldots \] Nuestra suma infinita se convierte entonces en el límite, cuando $n$ tiende a infinito, de $S_n$, \[ \lim_{n \rightarrow \infty} S_n = 1. \] La fórmula anterior se define en los siguientes términos: por pequeño que sea el margen que se escoja alrededor de 1, siempre será posible encontrar un número a partir del cual todas las sumas parciales están dentro del margen. Dicho de manera más rigurosa, para todo $\epsilon > 0$ existe $N$ tal que $n > N$ implica que $|1 - S_n| < \epsilon$.
Sabemos cuál debería ser el valor del límite definido más arriba, pero ¿puede justificarse matemáticamente?
La suma infinita que estamos considerando tiene la peculiaridad de que cada término es igual al precedente multiplicado por $\frac{1}{2}$. Este tipo de suma se denomina serie geométrica.
Supongamos que tenemos una serie geométrica en la que el factor que multiplica a cada término para dar el siguiente (la razón) es $r$, \[ a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + \ldots, \] y que queremos calcular el valor de una suma parcial, \[ S_n = a + ar + ar^2 + \ldots + ar^n. \] Entonces podemos multiplicar la ecuación anterior por $r$, \[ rS_n = ar + ar^2 + ar^3 + \ldots + ar^{n+1}, \] y restar estas dos expresiones, \[ S_n - rS_n = a - ar^{n + 1}. \] Si despejamos $S_n$, obtenemos \[ S_n = \frac{a(1 - r^{n + 1})}{1 - r}. \] La fórmula anterior nos permite calcular cualquier suma parcial de una progresión geométrica a partir del primer término y la razón (que se puede hallar dividiendo uno de los términos entre el anterior).
En nuestro caso $a = \frac{1}{2}$ y $r = \frac{1}{2}$, así que el límite del apartado anterior se convierte en \[ \lim_{n \rightarrow \infty} S_n = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{2^{n + 1}}\right)}{1 - \frac{1}{2}} = \lim_{n \rightarrow \infty} 1 - \frac{1}{2^{n + 1}} = 1. \] Aquí se puede ver claramente que $S_n$ efectivamente se aproxima cada vez más a 1 a medida que aumenta $n$, puesto que $\frac{1}{2^{n +1}}$ se puede hacer tan pequeño como uno desee aumentando el valor de $n$, es decir, \[ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2^{n + 1}} = 0. \]
Habiéndonos convencido de que la suma de un número infinito de tramos no implica necesariamente un resultado infinito, podemos enfrentarnos ahora al problema del tiempo.
A cada tiempo le corresponde una única distancia. \[ x(t) \]
Velocidad
r1(t) = r2(t)
r es una función continua de t
La velocidad es relativa.