Sobre el oscilador logarítmico como termostato
Marc Meléndez Schofield
Resumen
Campisi, Zhan, Talkner y Hänggi han propuesto recientemente [Phys. Rev. Lett. 108, 250601 (2012); arXiv 1203.5968] el uso del oscilador logarítmico como termostato hamiltoniano ideal, tanto en simulaciones como en experimentos. Sin embargo, el sistema presenta varios inconvenientes teóricos que se deben tener en cuenta si se pretende implementar este termostato de manera efectiva.
Esta página contiene un resumen de las ideas principales de un comentario publicado originalmente en arXiv.org en respuesta al artículo de Campisi et ál. sobre osciladores logarítmicos. El texto completo se puede consultar en:
[arXiv 1205.3478]
Los puntos más importantes se incluyeron también en un comentario escrito con William G. Hoover:
[ Phys. Rev. Lett. 110, 028901 (2013); arXiv 1206.0188; Póster (PDF)]
La respuesta de Campisi et ál. se encuentra en la página siguiente, Phys. Rev. Lett. 110, 028902 (2013).
1. El oscilador logarítmico
Un oscilador logarítmico no es más que una masa puntual m en un potencial central logarítmico*. El hamiltoniano del sistema es
(1) H(q, p) = p2⁄2m + dkBT ln(q⁄b) = E,
donde kBT y b pueden considerarse, de momento, parámetros arbitrarios, y d es el número de dimensiones en que se mueve la masa. Las trayectorias q(t) obtenidas a partir de (1) están contenidas en un plano que pasa por el origen q = 0, pero en general no serán cerradas. Sin embargo, la partícula sí puede moverse a lo largo de un camino circular centrado en el origen. En este caso, la fuerza de atracción tendrá que equilibrarse con la fuerza centrífuga,
(2) dkBT⁄r = mv2⁄r
donde r representa el radio de la circunferencia. Si despejamos v en (2), obtenemos que
v = √dkBT⁄m ,
¡independientemente del valor de la energía E! Esto implica que la energía cinética será siempre la misma, sea cual sea el radio de la órbita,
(3) p2⁄2m = 1⁄2 dkBT.
Si sustituimos (3) y q = r en (1), podemos despejar r en función de la energía E,
(4) r = 1⁄√e beβE/d,
donde β = (kBT)−1. No es difícil hallar una expresión parecida para el periodo de la órbita,
(5) torb. = 2πr⁄v = 2π √m⁄edkBT beβE/d.
Las expresiones (4) y (5) pueden servir como una estimación de las distancias y tiempos característicos de la dinámica.
2. Propiedades estadísticas
El hecho de que la velocidad de una órbita circular no dependa de la energía es bastante sorprendente. Implica que, si una perturbación externa llevara a la partícula a una órbita de mayor radio, la diferencia energética se guardaría exclusivamente en forma de energía potencial. En cierto sentido, se puede generalizar esta propiedad a las otras trayectorias del oscilador, ya que el promedio temporal de la energía cinética también es igual a
⟨ p2⁄2m ⟩t = 1⁄2 dkBT.
Esto explica la notación kBT para el coeficiente del logaritmo en (1). En efecto, si definimos la "temperatura" del oscilador logarítmico como 2kB por el promedio temporal de la energía cinética, entonces vemos que tiene siempre la misma temperatura T, independientemente de su energía E. En este sentido, se comporta como un foco térmico ideal: puede absorber o ceder una cantidad arbitraria de energía sin que varíe su temperatura.
También se puede demostrar* que si un sistema hamiltoniano S interacciona de manera débil con el oscilador logarítmico, entonces éste induce en S una dinámica que muestrea la colectividad canónica (típica de los sistemas en contacto con un foco térmico).
3. Inconvenientes del "termostato" logarítmico
![[Trayectorias del oscilador
logarítmico en el espacio de fases]](logarithmic_oscillator.png)
Figura 1: Trayectorias del oscilador logarítmico en el espacio de fases para valores diferentes de la energía total E.
La singularidad en la energía potencial del oscilador puede causar algunos problemas para las simulaciones numéricas. Una forma posible de evitarla consiste simplemente en reemplazar el hamiltoniano (1) por la aproximación*
(6) H(q, p) = p2⁄2m + 1⁄2 dkBT ln(q2⁄b2 + 1) = E,
que produce trayectorias en el espacio de fases como las que se muestran en la figura 1.
El mayor inconveniente, si se pretende utilizar el oscilador como termostato, es una consecuencia de que las distancias y los tiempos característicos dependen exponencialmente de la energía (4), (5). Si el oscilador absorbe energía, tenderá a alejarse mucho y a orbitar muy lentamente, mientras que, si cede energía, se quedará en un entorno pequeño de la singularidad, vibrando muy rápidamente.
Aunque (6) no es singular en sentido estricto, la dependencia exponencial obligará normalmente a escoger valores muy pequeños para b, lo cual implica valores muy grandes de la fuerza en un entorno del origen que, desde el punto de vista práctico, seguirá comportándose como un punto singular.
4. Conclusión
El oscilador logarítmico es un sistema muy interesante desde el punto de vista de la mecánica estadística. Sin embargo, no puede utilizarse como termostato en la práctica debido al gran rango de órdenes de magnitud involucrados. Las distancias y los tiempos característicos dependen exponencialmente de la energía del oscilador, lo cual hace que sea muy difícil de controlar, tanto en simulaciones como experimentos, a no ser que se intercambien cantidades muy pequeñas de energía entre el sistema de interés y el oscilador. Un buen foco térmico, por el contrario, debería permitir absorber o ceder grandes cantidades de energía.
* M. Campisi, F. Zhan, P. Talkner and P. Hänggi, Logarithmic Oscillators: Ideal Hamiltonian Thermostats, Phys. Rev. Lett. 108, 250601 (2012); arXiv 1203.5968.
