Posibilidad, incertidumbre y falacias modales

Marc Meléndez Schofield

Resumen

Este artículo propone una interpretación de los razonamientos probabilísticos y modales en términos de las nociones de posibilidad e incertidumbre. El análisis de los argumentos desde esta perspectiva pone de manifiesto una clase de falacias modales que, hasta donde sé, no han sido tratadas con detalle por los estudios de argumentación y lógica.

Contenidos

  1. Argumentos y mundos posibles
  2. Falacias modales
  3. Bibliografía
  4. Apéndice: Comentarios sobre la definición de probabilidad en términos de frecuencia límite

1 Argumentos y mundos posibles

Las falacias modales se han estudiado sobre todo desde un punto de vista formal sintáctico, prestando atención a derivaciones en las que la conclusión no se sigue de las premisas, según las reglas apropiadas en cada caso. Veremos más adelante un ejemplo de este tipo de falacia.

Mi argumento, que también es formal, sigue una dirección diferente: se fija en restricciones implícitas en el discurso que determinan formalmente la semántica de los argumentos con probables, necesarios y posibles. Comienzo describiendo el sentido de estas expresiones. Lo que sigue no es un catálogo de usos discursivos, sino una serie de ideas básicas bastante generales (aunque no universales) sobre los razonamientos con casos posibles.

1.1 Interpretaciones alternativas de la probabilidad

Muchas de las ideas contenidas en estas páginas las sugirió la lectura de un libro de física cuántica escrito por Ballentine, donde se trataban brevemente varias teorías sobre el sentido de las fórmulas matemáticas de probabilidad 1. La discusión de esta exposición nos servirá como punto de partida. La responsabilidad de los argumentos es mía, excepto cuando indico explícitamente que son de Ballentine.

1.1.1 Frecuencia límite

La primera interpretación define la probabilidad en términos de una frecuencia límite2. Desde este punto de vista, cuando decimos que la probabilidad de obtener una cara en un lanzamiento de moneda es 12, esto significa que al tender el número de lanzamientos (N) a infinito, el número de caras obtenidas (C) se acercará cada vez más al valor de la mitad de los lanzamientos efectuados. En resumen, se afirma que la probabilidad p de obtener cara es

p = limN→∞ CN = 12 .

Ahora bien, nótese que normalmente se habla de la probabilidad de un suceso (de obtener cara, por ejemplo), con lo que a primera vista parece que la probabilidad se atribuye no a una sucesión de experimentos iguales, sino sólo a uno. Ballentine afirma que esta definición se ha abandonado mayoritariamente, siendo la razón principal la falta de garantía de que el límite anterior exista para las series de sucesos que se pretenden estudiar3.

Se puede argumentar a favor de esta postura mostrando que el valor esperado de la fracción CN se aproxima a p a medida que N tiende a infinito, suponiendo que p sea efectivamente la probabilidad del suceso en cuestión4. En otros términos, cuanto mayor sea el número de lanzamientos, mayor será la probabilidad de obtener una frecuencia cercana a p. Sin embargo, lo que en principio parece un apoyo nos muestra la debilidad de esta definición, pues la fracción CN es conceptualmente diferente de la probabilidad p. Para que todos estos resultados matemáticos sean válidos, es necesario suponer de entrada que p es la probabilidad del suceso considerado. Y lo que es todavía peor, se puede demostrar5 que la probabilidad de obtener exactamente CN = p ¡de hecho tiende a cero cuando N tiende a infinito!

La noción de probabilidad como frecuencia límite supone una restricción matemática sobre experimentos empíricos, en el sentido de que el valor esperado de la frecuencia de un suceso en un número elevado de experimentos será igual a la probabilidad de ese suceso. Esta interpretación es válida, siempre que no se tome como una definición. El principal inconveniente es que olvida un aspecto esencial de la mayoría de los argumentos que involucran probabilidades: el hecho de que de antemano se contemplan varios sucesos posibles.

1.1.2 Probabilidad como propensión

Una noción alternativa que sí tiene en cuenta la multiplicidad de posibilidades es la de probabilidad como propensión. Esta postura afirma que el valor de la probabilidad expresa la tendencia de un fenómeno físico a ocurrir de una manera determinada. Tiene, por tanto, la virtud de expresar una característica intuitiva, a saber, que si un desenlace es probable, entonces los acontecimientos tenderán a ir en esa dirección.

Aquí la noción matemática no se deriva de otra más fundamental6, y podemos quedarnos con la impresión de que se está sustituyendo el concepto cotidiano de “probabilidad” por el de “tendencia”, o “probable” por “propenso”, sin añadir nada más. Pero no es éste el problema más grande de la propuesta. Hay que tener en cuenta que los cálculos de probabilidad no siempre se refieren a acontecimientos que aún no han ocurrido. Un problema matemático típico de aplicación del teorema de Bayes (o de la probabilidad a posteriori) podría enunciarse así:

Supongamos que existen dos enfermedades (A y B) de síntomas iguales. Se ha comprobado que de los pacientes que presentan los síntomas, sólo un 2% tiene la enfermedad A, que mata a uno de cada diez mil pacientes que la sufren. La enfermedad B es mucho menos peligrosa y fallece sólo uno de cada cien mil enfermos. Si un paciente ha muerto de una de las dos enfermedades (A o B) ¿cuál es la probabilidad de que haya muerto de la enfermedad A7?

En este caso, no se puede hablar en rigor de la tendencia del fallecido a que la causa de la muerte sea la enfermedad A, y la probabilidad pedida es distinta de la de haber contraído la enfermedad (que quizás sí podría considerarse una tendencia).

1.1.3 Inferencia inductiva

Una tercera teoría (mencionada por Ballentine bajo el nombre de inferencia inductiva) sustituye los “sucesos” por “proposiciones” . En este caso, la probabilidad representa el grado de creencia razonable en una proposición dada. Es decir, la oración “el suceso X tiene una probabilidad de ocurrencia del 70%” se traduce como “la creencia en la proposición 'ocurrirá X' es razonable (en un grado de 70 sobre 100)”.

Se amplía, por tanto, el rango de aplicabilidad de los conceptos probabilísticos. Además de la creencia en proposiciones que afirman que tendrá lugar un suceso u otro, podríamos hablar, por ejemplo, de la probabilidad de que la constante de gravitación universal tenga tal o cual valor, dadas las evidencias experimentales8. Es evidente que esta postura resuelve también el problema del apartado anterior9.

Entonces, cuando decimos que la probabilidad de obtener “cara” en un lanzamiento de moneda es de un 50% ¿queremos decir que es tan razonable creer que obtendremos una cara como creer lo contrario? ¿No estaría mejor representada la afirmación diciendo que el resultado podría ser cualquiera y que por lo tanto no tiene sentido creer en ninguna de las dos alternativas? La pregunta es retórica, y si el lector es un defensor de la inferencia inductiva es posible que afirme que es precisamente en este segundo sentido en el que debe entenderse la teoría. Pero el objeto de esta reflexión es sencillamente el de señalar la importancia de un segundo aspecto en los razonamientos probabilísticos: el de la incertidumbre.

1.2 Probabilidad en términos de posibilidad e incertidumbre

Las posiciones expuestas hasta ahora no son más que una caricatura de las líneas generales de un debate académico mucho más sofisticado. Sin embargo, creo que Ballentine da en el clavo cuando afirma que

Se ha generado una cantidad importante de debate agrio e improductivo sobre la cuestión de qué interpretación es correcta o superior. Tal y como lo veo yo, este debate está mal dirigido, pues cada teoría presta atención a clases de problemas diferentes. Cualquier interpretación de la “probabilidad” que sea coherente con los axiomas es “correcta”. Por ejemplo, los conceptos de probabilidad se pueden utilizar en la teoría de números. La probabilidad de que dos números enteros sean coprimos es 6π2 . Sin embargo, está claro que esta noción de probabilidad no se refiere ni a la tendencia a producirse de un fenómeno físico ni a la incertidumbre subjetiva10.

En la discusión precedente, he destacado dos características de los razonamientos probabilísticos: posibilidad e incertidumbre. Son dos atributos bastante generales, pero no universales, de los razonamientos con “probables”. Todavía es posible reformular el ejemplo de Ballentine para que encaje con la noción de incertidumbre subjetiva. En efecto, basta con expresarlo diciendo que la creencia en la afirmación “dos números enteros escogidos al azar son coprimos” es razonable en un grado de 6π2 sobre uno, suponiendo que los números en cuestión aún no se hayan escogido. Pero Ballentine tiene razón al decir que esto no captura el sentido matemático del ejemplo, que es mucho más sencillo: los casos en que dos números enteros son coprimos están en la relación 6π2 a 1, respecto de todas las parejas posibles de enteros.

No hace falta buscar mucho para encontrar otros casos en los que posibilidad e incertidumbre no encajan sin esfuerzo. Por ejemplo, la afirmación “es probable que vaya esta tarde al cine” puede entenderse sencillamente como una declaración de intenciones. Esto sólo supondría un problema importante si estuviéramos buscando una teoría de aplicabilidad universal, lo cual no es el caso, afortunadamente. Aquí nos conformaremos con una descripción bastante general de los razonamientos en términos de posibles. Esto no quiere decir que los argumentos expuestos aquí sean aproximados. Como suele ocurrir en el análisis lógico, las conclusiones son exactas ahí donde sean aplicables, siendo la aplicabilidad a diferentes situaciones lo que suele cuestionarse.

1.2.1 Definición de probabilidad

Lo que entendemos por probabilidad generalmente no coincide con la interpretación frecuencial, porque esto nos impediría resolver problemas de probabilidad sin antes llevar a cabo un gran número de experimentos. Pensamos que la probabilidad de obtener cara tras lanzar una moneda es 12, no porque hayamos realizado muchos lanzamientos, obteniendo cara aproximadamente en la mitad de ellos, sino porque contemplamos dos resultados posibles y “cara” es uno de ellos. Por lo tanto, de ahora en adelante, entenderemos que la probabilidad P de un suceso matemático E es igual a la fracción de casos posibles en los que se produce el suceso entre el número total de casos posibles,

P(E) = n(E)N ,

siendo n(E) el número de casos posibles en los que se da el suceso E11.

A veces, “probable” se utiliza de manera mucho más laxa e informal y puede querer decir sencillamente “posible” o “algo en lo que creo, pero de lo que no estoy seguro”. Utilizaremos la definición técnica dada antes para explicar con mayor precisión el origen de las falacias modales estudiadas más adelante, en la siguiente sección. Sin embargo, es importante tener en cuenta que estas falacias resultan especialmente efectivas en el contexto de los razonamientos informales.

1.2.2 Posibilidad

Hemos definido la probabilidad en términos de casos posibles, pero todavía no hemos dicho nada acerca del significado de posibilidad.

Se sabe que la lógica modal proposicional puede interpretarse de forma consistente mediante una semántica probabilística12, usando la idea de que una proposición es posible si su probabilidad no es nula, y necesaria si la probabilidad es 1. Aquí estamos sugiriendo el recorrido contrario, es decir, interpretaremos la probabilidad en términos de modalidad13.

Un caso posible es una construcción discursiva que cumple el requisito de ser coherente con una serie de restricciones lógicas, implícitas en la mayoría de los casos. Este es el punto clave de mi análisis, por lo que dedicaré unas líneas a un ejemplo ilustrativo.

Nos fijamos en la probabilidad de obtener un dos o un tres al lanzar un dado. Razonamos así: puesto que hay seis resultados posibles, y en dos de ellos obtenemos el resultado de interés, la probabilidad será

P(2 o 3) = 26 = 13 .

Llegados a este punto, interviene el filósofo imaginario Herbert Strawmann con las siguientes palabras:

—¿Qué queréis decir con eso de que sólo hay seis resultados posibles? ¿Y si al detenerse el dado queda apoyado sobre uno de sus vértices? ¿Y si un meteorito destruye la tierra antes de que llegue a caer el dado? ¿Y si un ser sobrenatural le añade más caras al dado?… El hecho de que estos sucesos sean improbables es irrelevante en este caso, dado que se trata de examinar las posibilidades lógicas.

Pero en realidad no estábamos interesados en todas las posibilidades lógicas, pues ni siquiera está claro cómo se podrían determinar. En nuestro cálculo nos preguntábamos cuál es la probabilidad de obtener un dos o un tres, suponiendo que el resultado sea el de una de las seis caras del dado. Dada esta restricción implícita, cuatro es un resultado posible, pero el dado equilibrado sobre uno de sus vértices, no14.

El hecho de que haya restricciones implícitas implica que puede cometerse una falacia por medio de un cambio de estos límites en mitad de un argumento. Dedicaremos la siguiente sección al análisis de este tipo de falacia. Pero antes aclararemos algunos términos que utilizaremos posteriormente.

Como es costumbre en los estudios de lógica modal, hablaremos de mundos posibles. Los mundos posibles se definen formalmente como conjuntos máximos consistentes de fórmulas bien formadas. En otras palabras, en un mundo posible queda determinado de manera consistente el valor de verdad de cualquier fórmula bien formada. Como en general hay más de una forma de hacer una atribución consistente de los valores de verdad, habrá más de un mundo posible.

La definición anterior no es suficiente para la construcción de un sistema de lógica modal, porque se necesitan también relaciones de accesibilidad, que asignan a cada uno de los mundos un conjunto (quizás vacío) de mundos posibles accesibles. Con ello se busca representar las alternativas a cada mundo. Según las propiedades de las relaciones de accesibilidad, se obtiene un sistema de deducción modal u otro15.

Utilizaremos el convenio de denotar posible y necesario con los signos ◊ y □, respectivamente. Dada una fórmula α, diremos que ◊α es verdadera en un mundo si hay algún mundo posible accesible desde éste en el que α es verdadera. La necesidad puede definirse en términos de la probabilidad tomando □α como equivalente a ¬◊¬α.

Desde el punto de vista conceptual, “caso posible” no es lo mismo que “mundo posible”, porque aquél no tiene por qué definir el valor de verdad de todas las proposiciones. Podemos referirnos a la posibilidad de que una nave tripulada llegue a Marte en el año 2050, sin tener que especificar también el valor de verdad de otras proposiciones como “El Real Madrid ganará la liga en 2050”. Por lo tanto, un caso posible puede estar representado por un conjunto de mundos posibles.

El contexto suele determinar implícitamente qué cuenta como un caso posible, y con ello establece las relaciones de accesibilidad. Esto quiere decir sólo que el contexto impone restricciones sobre el discurso, de modo que algunas construcciones se podrán considerar como posibles, mientras que otras no. En un laboratorio, por lo general, no se considerará la intervención divina como una causa posible de un fenómeno. Si violamos las constricciones impuestas por el contexto, el debate debe trasladarse a otro ámbito. En el caso de las discusiones contemporáneas entre los creacionistas y evolucionistas, los debates razonables tienen que trasladarse al ámbito de lo que cuenta como método científico, evidencia, prueba rigurosa, etc.

1.2.3 Incertidumbre

La noción de posibilidad implica la de incertidumbre, excepto cuando las restricciones de las que hablábamos antes determinan un sólo caso (o ninguno). En general, nuestros razonamientos no fijan el valor de verdad de las proposiciones posibles. Volviendo al ejemplo del dado, diremos que son posibles los resultados que corresponden a cada una de las caras, pero no fijaremos a priori el valor de verdad de las frases que afirman cada uno de estos resultados. Si q es una proposición verdadera en el caso de que se obtenga un tres, nuestros razonamientos darán por verdadera ◊q, pero no nos pronunciaremos sobre la verdad o falsedad de q.

Podemos concluir que la determinación de casos posibles por medio de restricciones lógicas suele ir acompañada de ciertas proposiciones de interés cuyos valores de verdad quedan indeterminados.

1.2.4 Modalidad, física y metafísica

El estatus ontológico de los mundos posibles ha cautivado el pensamiento de muchos autores tanto en la ficción como en la física y la filosofía. La Monadología de Leibniz es uno de los casos más conocidos, pero existen ejemplos más modernos, como el análisis metafísico de la necesidad de A. Plantinga. En física, Everett propuso una interpretación en términos de múltiples mundos paralelos para explicar los efectos físicos de los hechos contrafácticos pues, en palabras de Penrose,

Resulta extraordinario que la mecánica cuántica nos capacite para comprobar si algo podría haber sucedido pero no sucedió16.

En este ensayo no nos ocuparemos de los mundos posibles desde este punto de vista. La cuestión de si existen o no estos mundos y qué relaciones hay entre ellos tendrá que resolverse desde la física o la metafísica. Aquí nos interesan sólo las reglas de su uso en el discurso. Sea cual sea el estatus “real” de estos “ posibles”, esto no impide que en el discurso se utilicen con sentido de una u otra manera, del mismo modo que la inexistencia de los unicornios no impide que se mencionen con sentido en un cuento.

Lo que sí necesitamos es una noción de posibilidad consistente, si es que vamos a utilizarla para argumentar. El problema de la batalla naval, expuesto por Aristóteles en su obra Sobre la interpretación17 (y reformulado de acuerdo con los términos de este estudio), niega que la noción de posibilidad sea consistente desde el punto de vista lógico y defiende que □p, ◊p y p son equivalentes.

Supongamos que p representa “mañana tendrá lugar una batalla naval”. Entonces, o bien p es verdad hoy, o bien es verdad ¬p. En cualquier caso sólo hay un resultado posible mañana. Es decir, una de las dos proposiciones contradictorias es necesaria, por lo que no tiene sentido hablar de posibilidad en este caso. Pero la verdad de la proposición que realiza la predicción correcta no depende del momento concreto en el que se afirme. Ni siquiera depende de que se formule. Entonces, la verdad de cualquier proposición debe estar dada de manera necesaria.

Aristóteles señala en primer lugar que de □(p ¬p) no se deduce □p ¬p, y añade que no podemos afirmar que p sea verdadera, ni que lo sea ¬p, aunque podamos asegurar que (p ¬p) es verdadera, concluyendo que p no tiene un valor de verdad definido18. Esta es una solución perfectamente aceptable en lógica modal, pues p no puede tener un valor definido hasta que sepamos a qué mundo posible nos estamos refiriendo, uno en el que tiene lugar una batalla naval o uno en el que no.

Un oponente podría insistir en que no importa que no sepamos lo que ocurrirá mañana, porque el valor de verdad de p estará determinado por lo que pase mañana. Pero eso es equivalente a reducir de antemano todos los mundos posibles a uno solo, por lo que el argumento comete una petición de principio.

Esta solución del problema de la batalla naval no es un intento de refutación del determinismo. El lector recordará que estas líneas no están dedicadas a tratar asuntos metafísicos19. Las conclusiones de esta sección se pueden resumir con las siguientes palabras. Al representar una situación en una discusión, es bastante común que las constricciones lógicas no determinen completamente el valor de verdad de todas las proposiciones de interés. Se dice entonces que hay distintos casos posibles, uno por cada asignación no contradictoria de valores de verdad. Esto implica que el significado de posibilidad depende en cada caso de las restricciones lógicas, que normalmente no son explícitas.

2 Falacias modales

Esta sección describe dos tipos diferentes de falacia modal. Por lo que sé, la segunda, que he llamado falacia modal en sentido estricto, no ha recibido hasta ahora la atención de los estudios de lógica y argumentación.

2.1 Falacia modal del alcance

La falacia modal más estudiada tiene que ver con un cambio no válido del alcance de alguno de los operadores modales. El profesor Norman Swartz, de la universidad Simon Fraser, la ha estudiado en varios ejemplos en un artículo titulado “La” falacia modal20. Las comillas en el título se deben probablemente a que Swartz está reconociendo que esta no es la única falacia posible en los razonamientos modales, a pesar de que se le suela llamar la falacia modal.

Ilustraremos este non sequitur con una cita inventada.

Es imposible conocer algo que no es verdad. Por tanto, si conozco algo, entonces esto debe ser verdad necesariamente. Por contraposición, si algo no es necesario, entonces no lo puedo conocer. Por tanto, sólo hay conocimiento de las verdades necesarias e inmutables21.
(H. Strawmann)

Sigue una reconstrucción del argumento donde q representa la proposición “conozco p”, y p es una proposición elemental arbitraria.

  1. ¬◊(q ¬p), “Es imposible conocer p y que no sea verdad p” (premisa).
  2. “Si conozco p, entonces p debe ser verdad necesariamente”. Esta proposición se puede interpretar de dos formas distintas, debido a la ambigua (y malintencionada) colocación de la palabra “necesariamente”:
    • a) □(q → p). “Necesariamente, si conozco p entonces p”. Esta proposición es lógicamente equivalente a la anterior, por lo que se puede deducir legítimamente de aquella.
    • b) q →p, “Si conozco p, entonces p es necesario”. Esta proposición, que es lógicamente equivalente a la conclusión (3), no se deduce de la premisa en (1).
  3. ¬□p → ¬q, “Si p no es necesaria, entonces no puedo conocer p” (conclusión).

La trampa consiste en formular una de las proposiciones de manera ambigua, de modo que el alcance del operador de necesidad pueda establecerse de dos maneras distintas. Se infiere legítimamente (2a), pero este paso se interpreta como en (2b) para alcanzar la conclusión deseada.

Es evidente que estas derivaciones involucran la modalidad, pero son completamente análogas a las falacias de alcance en lógica de predicados, como cuando se intenta pasar de la proposición “todos los hombres temen a alguien” (que tiene la forma xy(Hx → Txy)), a la proposición “hay alguien que es temido por todos los hombres” ( yx(Hx → Txy)) donde ha cambiado el alcance de los operadores y .

El trabajo que hemos desarrollado en las páginas precedentes nos permite detectar un tipo de falacia modal diferente, consistente en una variación de las relaciones de accesibilidad, dejando todas las proposiciones como están. Es decir, estas otras falacias se producen cuando cambia el modo de interpretar la posibilidad.

2.2 La falacia modal en sentido estricto

En el campeonato mundial de atletismo en Berlín, en agosto de 2009, se esperaba que el evento de los cien metros lisos lo ganara Usain Bolt (Jamaica), teniendo en cuenta los tiempos que había logrado en carreras anteriores. Se suponía que las probabilidades de que ganaran Tyson Gay (E.E.U.U.) o el compatriota de Bolt, Asafa Powell, eran menores. Nuestro amigo H. Strawmann argumentó así22:

—La probabilidad de que gane Bolt es mayor que la de que gane Gay. A su vez, esta es mayor que la de que gane Powell. Tenemos (1): “si E.E.U.U. no gana el oro en el evento, entonces si no gana Bolt, tendrá que ganar Powell”. Ahora bien, las probabilidades nos permiten la afirmación del antecedente de (1), es decir, que E.E.U.U. no ganará el oro. Por lo que, por Modus Ponens, (2): “si no gana Bolt, entonces ganará Powell”. Pero esta conclusión es incorrecta, ya que es evidente que la conclusión correcta es (3): “si no gana Bolt, entonces ganará Gay”. Tenemos que concluir que el Modus Ponens no es una regla aplicable en este caso.

Antes de pasar a un diagnóstico modal, podemos rebatir el argumento de Strawmann acudiendo a la lógica clásica. Si verdaderamente aceptamos que se afirme que E.E.U.U. no ganará porque la probabilidad de que gane Jamaica es mayor, entonces también debemos aceptar que se afirme que ganará Bolt. Si este es el caso, tanto (2) como (3) son conclusiones correctas, pues el antecedente de ambas es falso.

Sin embargo, afirmar directamente que tendrá lugar el desenlace más probable (la victoria de Bolt y de Jamaica) destruye la característica esencial de este tipo de razonamientos: las múltiples posibilidades y la incertidumbre sobre cuál tendrá lugar. Nos trasladaremos, por tanto, al ámbito de los razonamientos modales.

En la deducción de (2), la posibilidad se entiende de modo distinto de cuando se deduce (3). Esta es la causa de que haya titulado el apartado “falacia modal en sentido estricto” (al haberse producido un cambio en la modalidad).

Formularemos el argumento con un poco más de cuidado. Supondremos que Bolt, Gay y Powell son los únicos con posibilidades de ganar. B, G y P representarán, respectivamente “gana Bolt”, “gana Gay” y “gana Powell”. La relación entre las probabilidades es P(B) > P(G) > P(P) > 0. La probabilidad de que gane E.E.U.U. es igual a P(G). Las proposiciones (1) y (3) de Strawmann serían

(3) afirma que P(G|¬B) > P(X|¬B), donde X representa la victoria de cualquier participante distinto de Gay. Esta fórmula puede deducirse de la relación entre probabilidades. (1) afirma que P(P|¬B¬G) > P(Y|¬B¬G), siendo Y la victoria de un participante diferente de Powell. Es fácil ver que si Y se sustituye por B o G, el segundo miembro de la última desigualdad se anula. Tanto (1) como (3) son correctas, pero Strawmann quiere deshacerse del antecedente en (1), obteniendo

que quizás podría expresarse como P(P|¬B) > P(X|¬B). Ahora bien, si queremos razonar correctamente, podemos eliminar efectivamente el antecedente de (1), pero entonces este antecedente pasa automáticamente a formar parte de las restricciones que determinan la accesibilidad, por lo que la victoria de Gay deja de ser posible en el razonamiento posterior. En otras palabras, probable quiere decir algo distinto en (2) que en (3), porque se refiere a restricciones distintas sobre lo que es posible. Según las restricciones para (2), es posible que ganen tanto Bolt como Gay y Powell, pero en el caso de (3) sólo se aceptan como ganadores posibles Bolt y Powell.

2.3 Pertinencia del análisis de la falacia modal

La identificación de falacias de este tipo puede tener interés más allá del estudio de la lógica y la teoría de la argumentación. Sigue un ejemplo extraído de la discusión sobre la interpretación de la mecánica cuántica. Pero antes insistiré en que este artículo se mantiene al margen de las discusiones físicas y metafísicas acerca de mundos posibles. A continuación hay una explicación que se fija sólo en la estructura de la argumentación. La detección de una falacia no supone el rechazo de las conclusiones. Sólo dice que éstas no están garantizadas por el razonamiento.

Algunas interpretaciones de la mecánica cuántica han defendido que los fenómenos físicos han mostrado la invalidez de la lógica clásica y han abogado por la adopción de una nueva lógica cuántica.

Uno de los argumentos más comunes, debido a Bell, utiliza un cálculo “clásico” de probabilidades que es refutado por los datos experimentales23. Van Fraassen ha defendido que estos argumentos cometen una falacia modal24. Explicaremos brevemente el problema, utilizando nuestro análisis anterior para arrojar luz sobre la cuestión.

Supongamos que tenemos dos partículas cuánticas enlazadas (el sentido de esta expresión quedará claro un poco más adelante) y que se desea medir una propiedad S que puede tomar uno de dos valores (típicamente, se mide el momento magnético de espín s, que puede tomar el valor +12 o −12 en una dirección determinada). Sea p la proposición que afirma que en la primera partícula se ha medido un valor dado de esta propiedad (s = + 12 , por ejemplo) y q la afirmación del mismo valor en el mismo tipo de medida para la segunda partícula. Estas partículas están enlazadas. Esto quiere decir que si se mide la misma propiedad en ambas partículas, el resultado de las medidas debe ser opuesto. Podemos expresar este hecho con la fórmula p → ¬ q. Partiendo de la expresión □(p ∨ ¬p), que es válida, y teniendo en cuenta la equivalencia lógica de p y ¬q, podemos deducir una segunda expresión válida:

(p → ¬q).

En el argumento de Bell, solamente se mide S para la primera partícula. Su valor para la segunda partícula se infiere del hecho de que debe ser opuesto al obtenido para la otra partícula. Tenemos un razonamiento contrafáctico: si se hubiera realizado la misma medida sobre la segunda partícula, entonces se habría obtenido un valor opuesto al de la primera.

Supongamos que tenemos un valor de s = + 12 para la primera partícula. Sorprendentemente, no es correcto deducir de este hecho que si se hubiera realizado la medida sobre la segunda partícula se habría obtenido s = − 12. Van Frassen ilustra por qué con un ejemplo clásico: si Bizet y Verdi hubieran sido compatriotas ¿habría sido italiano Bizet o habría sido francés Verdi25?

No podemos asegurar cuál habría sido el resultado de la medida a no ser que consideremos que p y q en la expresión □(p → ¬q) hacen referencia a una propiedad de valor determinado independientemente del proceso de medida, que es precisamente lo que se suele negar en las interpretaciones ortodoxas de la mecánica cuántica.

En otras palabras, una forma de interpretar la posibilidad consiste en tomar como accesibles los casos en los que se mide la misma propiedad en las dos partículas. El hecho de que estén enlazadas permite asegurar que tendrán valores opuestos, pero no cuáles serán estos valores. Con esta noción de posibilidad, no se puede deducir cuál habría sido el valor de s si se hubiera medido en la segunda partícula. Otra forma distinta de entender la posibilidad haría accesibles sólo los mundos en los que la primera partícula tiene un valor dado de s (por ejemplo, s = + 12). En algunos, se mediría la misma propiedad en la segunda partícula, y en otros no. Utilizando la fórmula □(p → ¬q), se llegaría a la conclusión de que en todos los casos accesibles, la partícula tiene un valor opuesto de la misma propiedad.

Serán los científicos quienes deban decidir si esta segunda noción de posibilidad corresponde al comportamiento del mundo real. A nosotros nos corresponde sólo señalar que estas dos nociones no son equivalentes desde el punto de vista lógico.


Notas

1 Ballentine, L.: Quantum Mechanics. A modern development, World Scientific Publishing (1998), pp. 32-33.
2 Se define frecuencia de un suceso, en este contexto, como la razón entre el número de ocurrencias C y el número de ensayos N en los que C era un resultado posible. Es, por tanto, una fracción determinada empíricamente.
3 Loc. cit.
4 Loc. cit.
5 La demostración se encuentra en un apéndice al final de este artículo, pues es demasiado técnica como para incluirla aquí, especialmente si se tiene en cuenta que no es necesario comprenderla para seguir mi argumento.
6 Ballentine, op. cit. pp 33-34.
7 La probabilidad es casi del 17%, a pesar de que sólo dos de cada cien pacientes han contraído la enfermedad A.
8 Loc. cit.
9 No entraremos aquí a debatir si con esta visión se reduce la probabilidad a una cuestión puramente subjetiva, o si se pierde definitivamente la connotación intuitiva de tendencia. Ciertamente, algunos defensores de la inferencia inductiva se han esforzado por mostrar que ésta puede entenderse objetivamente. Cf. Loc. cit.
10 Loc. cit. La traducción es mía.
11 En muchos casos, los problemas de probabilidad implican espacios de sucesos con un número infinito de sucesos posibles. Desde un punto de vista matemático riguroso, es necesaria una definición más precisa que la expuesta aquí. Sin embargo, la idea fundamental aparece inalterada: lo que interesa es la proporción de posibilidades en las que tiene lugar E.
12 Hughes, G. E. y Creswell, M. J.: A New Introduction to Modal Logic, Routledge (1996), pp. 227-8.
13 He topado con alguna referencia indirecta al hecho de que S. Toulmin ha escrito sobre la interpretación de la probabilidad en términos de modalidad, pero no he podido encontrar hasta ahora bibliografía que explique esta postura.
14 Cf. Hughes, G. E. y Cresswell, M. J.: An Introduction to Modal Logic, Methuen & Co (1972), pp. 75-80. Puede encontrarse aquí una explicación más formal de cómo la noción de posibilidad (en el texto, lo que es “concebible”) determina las condiciones de accesibilidad.
15 Si la accesibilidad es reflexiva, el sistema obtenido se conoce como T, en el caso de que también sea transitiva se obtiene el sistema S4, y si además es simétrica, se obtiene S5 (Cf. Loc. cit. pp. 63-68).
16 Longair, M. (ed.); Penrose, R.; Shimony, A.; Cartwright, N.; Hawking, S.: Lo grande, lo pequeño y la mente humana, Cambridge University Press (1999), p. 61.
17 Aristóteles: Sobre la interpretación, IX, en Tratados de lógica (Órganon). I, Gredos (2001).
18 Ibid. IX, 19a-b.
19 Para un análisis metafísico de tiempo y modalidad, puede consultarse Swartz, N.: Beyond Experience. Metaphysical Theories and Philosophical Constraints, Second edition (2001), especialmente el capítulo sobre espacio y tiempo.
20 'The' Modal Fallacy.
21 Esto es una reformulación de un ejemplo de Swartz en Ibid. 'If x knows that p, then p must be true'.
22 La estructura de esta falacia procede de un ejemplo en Vega Reñón, L.: Si de argumentar se trata, Montesinos (2007), pp. 53-54.
23 La descripción de las llamadas desigualdades de Bell queda más allá del propósito de este ensayo. Sin embargo, aquí se analiza sólo un paso de la deducción y no se exige conocimiento de estas desigualdades para seguir el hilo de la explicación. Nuestro análisis es estrictamente formal.
24 Van Fraassen, B. C.: Quantum Mechanics. An Empiricist View, Clarendon Press (1991).
25 Ibid. pp. 122-125.

3 Bibliografía

[1] Aristóteles: Sobre la interpretación, en Tratados de lógica (Órganon). I, Gredos (2001).
[2] Ballentine, L.: Quantum Mechanics. A modern development, World Scientific Publishing (1998).
[3] Hughes, G. E. y Cresswell, M. J.: An Introduction to Modal Logic, Methuen & Co (1972).
[4] Hughes, G. E. y Creswell, M. J.: A New Introduction to Modal Logic, Routledge (1996).
[5] Longair, M. (ed.); Penrose, R.; Shimony, A.; Cartwright, N.; Hawking, S.: Lo grande, lo pequeño y la mente humana, Cambridge University Press (1999).
[6] Swartz, N.: Beyond Experience. Metaphysical Theories and Philosophical Constraints, University of Toronto Press (1991). La segunda edición está disponible de forma gratuita en la página web del autor.
[7] Swartz, N.: 'The' Modal Fallacy, (1999).
[8] Van Fraassen, B. C.: Quantum Mechanics. An Empiricist View, Clarendon Press (1991).
[9] Vega Reñón, L.: Si de argumentar se trata, Montesinos (2007).


4 Apéndice: Comentarios sobre la definición de probabilidad en términos de frecuencia límite

Como hemos visto antes, la interpretación de la frecuencia límite define la probabilidad en términos de la siguiente expresión*:

p = limN → ∞ CN ,

siendo N el número de ensayos y C el número de ocurrencias del suceso cuya probabilidad queremos determinar.

Imaginemos una sucesión de lanzamientos de moneda, ¿cuál es la probabilidad de obtener una frecuencia empírica de 12 para las caras?

Hipótesis: Según la interpretación de frecuencia límite, al aumentar el número de ensayos, la probabilidad de obtener una frecuencia de 12 debería aproximarse indefinidamente a uno (el cien por cien de los casos).

Esta hipótesis es verdadera en un sentido, pero falsa en otro. Las distinciones aquí son sutiles, por lo que me veo obligado a formular mis frases con cuidado. Es verdad que, al aumentar el número de ensayos, aumenta la probabilidad de obtener una frecuencia empírica en un intervalo progresivamente más estrecho centrado en 12 . Ahora bien, nótese que hablamos de la probabilidad de obtener un resultado dado. Aunque sutil, este es un problema insuperable para esta definición de probabilidad, puesto que el límite limN→∞ CN no está bien definido debido a que cualquier valor entre 0 y N es un valor posible para C, siempre que C no se refiera a un suceso seguro o imposible. Por lo tanto, sólo podemos hablar de probabilidad de obtención de un valor C, lo cual implica una definición circular.

Por otra parte, dijimos que la hipótesis enunciada arriba era falsa en otro sentido. Asumiendo que la probabilidad de obtener “cara” en un lanzamiento de moneda es p = 12 , no es verdad que la probabilidad de obtener cara exactamente en la mitad de lanzamientos aumente con el número de lanzamientos. Para demostrarlo, calcularemos la probabilidad P(N, 2N) de obtener N caras en 2N lanzamientos y veremos cómo cambia este valor al tender N a infinito.

Según la teoría matemática de la probabilidad, el valor de P viene dado por la distribución binomial**:

P(N, 2N) = (2N)!(N!)2 122N .

En primer lugar, hay que notar que el valor de este término está siempre por debajo de 1, por lo que es imposible que el límite tienda a 1. Se puede demostrar por inducción que

(2N)!(N!)222N−1

Como consecuencia de esta desigualdad, podemos afirmar que la probabilidad P está acotada entre los valores 0 y 12 . Es mayor o igual que 0 porque N toma sólo valores positivos y es menor o igual que 12 porque, utilizando la fórmula anterior

P(N, 2N) = (2N)!(N!)2 122N22N−122N = 12 .

Se puede demostrar además que cuando N → ∞, P(N, 2N) tiende a cero. Para ello, se puede utilizar la aproximación de Stirling (n! ≈ √2πn (ne)n cuando n → ∞),

limN→∞ (2N)!(N!)2 122N = limN→∞ 1πN = 0.

La demostración anterior presupone un suceso de probabilidad p = 12. Mi argumento no necesita más, ya que el contraejemplo es suficiente para negar la hipótesis expuesta más arriba (en la segunda interpretación). Sin embargo, el argumento se puede extender fácilmente a cualquier otro valor de p estrictamente menor que 1.

En general, la distribución binomial para n ocurrencias de un suceso de probabilidad p en 2N experimentos es:

P(N, 2N) = 2N!n!(2N − n)! pn(1 − p)2N−n.

Ahora bien, podemos acotar el valor de P sabiendo que

(2N)!n!(2N−n)!(2N)!(N!)2 ,

p2N (1 − p)2N−n122N .

La primera desigualdad se obtiene por inspección de las relaciones entre los números combinatorios (2NN) ), y la segunda hallando el máximo de la función p2N (1 − p)2N−n, con 0 ≤ p < 1. De las expresiones anteriores deducimos que

0 ≤ P(n, 2N) ≤ P(N, 2N),

sean cuales sean los valores de n y N. Como limN→∞ P(N, 2N) = 0, entonces también debe cumplirse que

limN→∞ P(n, 2N) = 0.


* En notación matemática, CN = 12 . Para el sentido exacto de esta expresión, Cf. Ballentine, op. cit. pp 33-34.
** La distribución binomial P(r, n) indica la probabilidad de obtener r ocurrencias de un suceso de probabilidad p en n experimentos. Su expresión matemática es:
P(r, n) = n!r!(n − r)! pr(1 − p)n−r.
En nuestro caso, r = N, n = 2N y p = 12 .
La demostración es fácil si se tiene en cuenta que
(2N)!(N!)2(2(N − 1))!((N − 1)!)2 ,
siempre que N > 1 (esto se puede establecer fácilmente por inspección de las propiedades del número combinatorio (2NN) ).
Suponemos aquí que n puede tomar cualquier valor entero entre 0 y 2N.

Creative 
Commons License Valid XHTML 1.0 Strict