La importancia filosófica del teorema de Bolzano

Marc Meléndez Schofield

Resumen

El conocimiento de la teoría lógica de Bolzano permite apreciar las aportaciones de su artículo matemático sobre la “demostración puramente analítica…” a la filosofía de la ciencia. Esta obra sirve como ejemplo de la productividad de su antipsicologismo en lógica, supone un argumento en apoyo de su rechazo de las tesis kantianas sobre la verdad matemática, y pone de manifiesto la estrecha relación entre lógica, matemáticas y filosofía en la tarea de fundamentación de la ciencia que emprendió.

En matemáticas, Bolzano normalmente aparece asociado al teorema que lleva su nombre, que en terminología moderna se enuncia así: sea f una función real continua en el intervalo [a, b]; si f(a) y f(b) tienen signos opuestos, entonces existe c tal que f(c) = 0. Podemos ilustrar el teorema con el ejemplo siguiente. Si dibujamos una línea desde el punto inferior al superior en la figura que hay bajo estas líneas, siempre que no levantemos el lápiz y avancemos de izquierda a derecha sin retroceder en ningún momento, entonces necesariamente cortaremos el eje horizontal en algún punto (y, posiblemente, más de uno). La línea curva dibujada entre los dos puntos en el gráfico de la figura 1 corta en el punto c.

[Función continua en [a, b] que cumple el teorema de Bolzano]

Figura 1: Ilustración del teorema de Bolzano. La función f es continua en el intervalo [a, b] y f(a) = −f(b). Por lo tanto, hay un valor c del intervalo para el que f(c) = 0.

Es evidente que la intersección podría haber estado en cualquier otro punto del intervalo, pero igualmente evidente que debe producirse en al menos un punto entre a y b. Pero, si esto es un hecho evidente, ¿por qué necesita una demostración?

Bolzano publicó en 1817 una prueba de este teorema bajo el título de Demostración puramente analítica del teorema que afirma que entre dos valores con ordenadas de signos opuestos se encuentra al menos una raíz de la ecuación1, con un prefacio de varias páginas que contenía reflexiones que resultarían extrañas para el lector acostumbrado a los tratados contemporáneos de matemáticas. El estatuto del enunciado del teorema queda resumido con estas palabras:

No hay nada que decir en contra de la corrección ni de la obviedad de esta proposición geométrica2.

Quedaría entonces por justificar la necesidad (o al menos el interés) de su demostración.

En primer lugar, conviene percatarse de que el teorema no puede considerarse un axioma de la matemática.

Pues es evidente que los conceptos de los que está compuesto [este enunciado] están combinados de tal forma que no podemos dudar ni un momento al decir que no puede ser una de esas verdades simples llamadas axiomas o verdades básicas [Grundwahrheiten]3.

Segundo, la prueba habitual de esta afirmación procede de una construcción geométrica. Comentando la demostración de Gauss de 1799 del teorema fundamental del álgebra, Bolzano objeta que aquella prueba

[…] tenía el defecto (que él mismo admitió) de que basaba una verdad puramente analítica sobre una consideración geométrica4.

Del mismo modo, la proposición que tenemos entre manos solía justificarse a partir de una “verdad que se ha tomado prestada de la geometría”5. Pero la aplicabilidad del teorema es más general y, por lo tanto, su validez no puede depender exclusivamente de una propiedad de magnitudes puramente geométricas.

[...] es una violación inaceptable del buen método el intentar derivar proposiciones pertenecientes a la matemática pura o general (es decir, aritmética, álgebra, análisis) a partir de consideraciones que pertenecen sólo a una parte aplicada (o especial) de ella: la geometría6.

Como veremos, estas líneas no deben interpretarse sólo como un comentario escéptico sobre la validez de las consideraciones geométricas para el establecimiento de verdades no geométricas, sino como el resultado de una reflexión profunda sobre la fundamentación de las matemáticas, el papel de la lógica en el desarrollo de la ciencia y una discusión muy inteligente con la filosofía kantiana, contra la que la demostración del teorema de los valores medios por un método puramente analítico supone un golpe decisivo.

Las páginas que siguen están dedicadas a iluminar los primeros párrafos del artículo de Bolzano mediante un resumen histórico de algunas ideas clave de su carrera intelectual. Hacia el final, será evidente la estrecha relación entre lógica, matemáticas y filosofía en la tarea de fundamentación de la ciencia que emprendió Bolzano.

Ideas y verdades objetivas

Frente al psicologismo imperante en su ambiente intelectual, Bolzano defendió la objetividad de las ideas y proposiciones en sí. Una proposición en sí no es más que algo susceptible de ser verdadero o falso independientemente de si ha sido en algún momento formulado o pensado por alguien7. De ello no debe deducirse que se postula la existencia de un mundo platónico de ideas y proposiciones independiente del mundo material. Bolzano afirma que hay tanto proposiciones objetivamente verdaderas como otras que son falsas, pero insiste en que, a pesar de que la verdad y la falsedad no dependen de que alguien las aprehenda, las proposiciones en sí no existen.

[…] las proposiciones de ninguna manera pertenecen a la clase de objetos que llamamos existentes o reales. […] La existencia pertenece sólo a las proposiciones pensadas, y también a las que se considera verdaderas, es decir, los juicios, pero no a las proposiciones en sí, que son el material aprehendido por un ser pensante en sus deliberaciones y juicios8.

A estas definiciones respondía por carta su amigo y colega Exner con las siguientes palabras.

No puedo asentir cuando, a pesar de negar la existencia de las verdades e ideas objetivas, les das aún así, podría decirse, una especie de existencia fantasmal. ¿Se supone que las ideas objetivas se aprehenden desde lo subjetivo? ¿Cómo puede lo no existente ser aprehendido por lo existente? ¿Qué se supone que significa aprehender en este contexto9?

El concepto de verdad en sí, independiente de su materialización en alguna conciencia resultaba difícil de concebir para alguien convencido de que “cada verdad existe sólo en la conciencia de un individuo”10.

La intuición y la construcción de conceptos

La noción subjetiva de verdad defendida por Exner tenía sus raíces en el idealismo trascendental de Kant. Si bien la definición kantiana de verdad (la conformidad del conocimiento con su objeto11) parece perfectamente compatible con la de Bolzano, que escribía que una verdad en sí es

cualquier proposición que afirma que algo es tal como es, dejando de lado si ha sido o no pensada por alguien12,

la constitución metafísica de los objetos que deben “encajar” con el conocimiento (o las proposiciones) es muy diferente y, como consecuencia, el criterio de verdad es diferente.

Los juicios, según Kant, podían dividirse analíticos y sintéticos. En los juicios analíticos, simplemente se atribuía a un sujeto alguna propiedad contenida (de manera más o menos oscura) en el propio concepto del sujeto (como en el juicio “todo triángulo tiene tres ángulos”), por lo que en realidad no servían para ampliar el conocimiento y, si tenían una función, era sólo la de aclarar los conceptos. La totalidad de la lógica se concebía contenida en el ámbito de los juicios analíticos, razón por la cual el criterio lógico de verdad (la conformidad de un conocimiento con las leyes universales y formales del entendimiento y de la razón13) era un criterio meramente negativo que no podía ampliar el conocimiento. La lógica, por tanto, no podía ser utilizada como Organon, y cualquier intento en esta dirección estaba destinado a desembocar en una ilusión sofística.

Las matemáticas, sin embargo, eran capaces de ampliar nuestro conocimiento, es decir, estaban basadas en juicios sintéticos. Ahora bien, aunque estaba muy claro que los juicios empíricos (a posteriori) ampliaban el conocimiento, también era evidente que la matemática pura avanzaba sin necesidad de apoyarse en ninguna evidencia empírica, es decir, se desarrollaba completamente a priori. Por lo tanto, el problema atacado por Kant en la Crítica de la razón pura se resumía con la pregunta ¿cómo son posibles los juicios sintéticos a priori?

La solución kantiana para el caso concreto de la matemática pura consistía en el descubrimiento de las intuiciones puras de espacio y tiempo. Las condiciones de posibilidad de la experiencia contenían estos marcos espacio-temporales, por lo que cualquier objeto de la experiencia debía amoldarse a ellos. En la conclusión de la estética trascendental, escribía que

Tenemos ya, en las puras intuiciones a priori —espacio y tiempo— una de las partes requeridas para solucionar el problema de la filosofía trascendental: ¿cómo son posibles las proposiciones sintéticas a priori? Cuando desde tales intuiciones queremos sobrepasar con un juicio a priori el concepto dado, encontramos algo que no puede ser descubierto a priori en el concepto, pero sí en la intuición que le corresponde, y ese algo puede ligarse sintéticamente a dicho concepto14.

[…] las condiciones de posibilidad de la experiencia en general constituyen, a la vez, las condiciones de posibilidad de los objetos de la experiencia y por ello poseen validez objetiva en un juicio sintético a priori15.

De todas las razones expuestas, Kant concluía, y este es el punto clave, que la producción de verdades matemáticas dependía de manera ineludible de la intuición espacial. Así, por ejemplo,

[…] ningún principio de la geometría pura es analítico. “La línea recta es la más corta entre dos puntos” es una proposición sintética. En efecto, mi concepto de recto no contiene ninguna magnitud, sino sólo cualidad. El concepto de “la más corta” es, pues, añadido enteramente desde fuera. Ningún análisis puede extraerlo del concepto de línea recta. Hay que acudir, pues, a la intuición, único factor por medio del cual es posible la síntesis16.

El pensamiento lógico y matemático en Bolzano

Frente a la concepción expuesta en el apartado anterior, Bolzano defendió que se puede avanzar en lógica y matemáticas sin apoyarse en una intuición espacial, que la teoría de Kant era incorrecta y que la lógica podía servir para “instruirnos sobre cómo parcelar el dominio completo de la verdad en ciencias particulares y cómo presentarlas en tratados académicos”17. Sobre la supuesta solución del problema del conocimiento a priori en matemáticas de la Crítica de la razón pura, escribió que estaba basada en una confusión debido a la ambigüedad del concepto de intuición.

¿Qué valor tiene la aseveración de que la matemática es una ciencia de la razón basada en la construcción de conceptos por medio de intuiciones? [...] Considero que [esta teoría] no es más que... una ilusión vacía, una ilusión que surge, por una parte, del sentido cambiante con que se toma la palabra intuición y, por otra, de la circunstancia de que muchas verdades matemáticas [...] tienen el atributo de que pueden producir, en la realidad o la imaginación, un ejemplo de un objeto que se corresponde con ellas18.

Kant puso la intuición en la base del conocimiento, pues los juicios consistían simplemente en hacer corresponder conceptos con intuiciones (puras, en el caso de las matemáticas). Para Bolzano, las proposiciones estaban compuestas de ideas, pero éstas nunca podían ser las intuiciones kantianas, porque lo que la Crítica llamaba “la materia bruta de las impresiones sensibles”19 no podía tener un papel en una estructura puramente lógica. Lo que se necesita es una idea cuya referencia sea la intuición. Bolzano utilizó esta distinción entre ideas y los objetos representados por las ideas, de modo que una idea podía referir a muchos, varios, uno o ningún objeto. En la terminología expuesta en su reflexión sobre el método matemático (contenido en su inacabada Größenlehre) las intuiciones eran ideas simples (en el sentido de que no estaban compuestas de otras20) que tenían un único objeto como referencia (“esto que ahora mismo percibo en mí”, o “esto que veo ahora”, o “este rojo”21).

Alguien nos acerca una rosa, vemos, no el rojo en general, sino este rojo presente en esta rosa. Olemos, no el aroma en general, sino esta fragancia, que posee sólo esta rosa […]22

El problema de determinar si una proposición era o no verdadera se reducía, para Bolzano, a determinar si los referentes de las ideas tenían de hecho las relaciones o propiedades que proclamaban las proposiciones.

Sin embargo, el diagnóstico de una derivación problemática en la Crítica de la razón pura no implica la validez de las tesis contrarias. En concreto, la diferencia entre el concepto de Bolzano de intuición (como idea simple) y el de la Crítica (como materia de la experiencia) no es suficiente para afirmar la capacidad de la razón pura para avanzar en el conocimiento sin hacer uso de la representación espacial. Pero, ¿y si se pudiera mostrar la derivación de un teorema que los kantianos están de acuerdo en considerar sintético, pero por un método puramente analítico?

Es evidente que el artículo de Bolzano sobre la “Demostración puramente analítica…” cumple precisamente esta función. Sirve como ejemplo claro de una derivación que no se apoya en la “construcción por medio de la intuición” y permite establecer una verdad sintética, ampliando nuestro conocimiento por un procedimiento estrictamente lógico, derribando de un solo golpe, mediante un contraejemplo, las dos tesis kantianas expuestas en el apartado anterior.

Hasta este punto del presente ensayo, sólo hemos dado las claves para comprender el prefacio de la Demostración puramente analítica… a la luz de las discusiones académicas de la época en la que se publicó. Sin embargo, las reflexiones contenidas en ese pequeño artículo pueden enmarcarse en un contexto mayor, como una contribución a la filosofía de la ciencia que merece la pena repensar en la actualidad.

La teoría lógica de Bolzano

Estaría fuera de lugar resumir aquí los puntos principales de la teoría lógica de Bolzano, dado que ya se han escrito presentaciones detalladas al respecto23. Llamaremos la atención sobre varias contribuciones de especial interés en el contexto del prefacio que ha guiado nuestra exposición desde el principio. En concreto, destacaremos las nociones de derivabilidad, equivalencia y secuencia. Veremos que, a pesar de la falta de un buen aparato formal para el cálculo lógico y la ausencia del concepto moderno de función, las nociones propuestas pueden resultar estimulantes para la reflexión contemporánea en el ámbito de la filosofía de la lógica.

Derivabilidad y equivalencia

Bolzano utilizó el término proposición para referirse tanto a las proposiciones en sí24 como a algo que podríamos llamar esquemas de proposición. En efecto “i es j” tiene la misma forma que “Cayo es mortal” (si se consideran partes variables tanto “Cayo” como “mortal”), pero no es verdadera ni falsa hasta que se establezca qué representan i y j. Dejaremos de lado esta precisión y utilizaremos la misma terminología que Bolzano, recordando en adelante que A, B, C, D…, M, N, O… representan proposiciones en este segundo sentido, es decir, que pueden ser verdaderas o falsas, dependiendo de cuáles sean las ideas que se sustituyan por las variables i, j…

La Teoría de la ciencia define la compatibilidad como una relación entre proposiciones A, B, C, D… según la cual existe algún conjunto de ideas i, j… que, sustituidos en ellas, hace que todas sean verdaderas simultáneamente25. Utilizando este concepto, Bolzano introduce la preclara noción de derivabilidad entre conjuntos de proposiciones compatibles.

Digo que las proposiciones M, N, O… serían derivables [Abletbar], de las proposiciones A, B, C, D…, respecto de los elementos constitutivos i, j,…, si todo conjunto de representaciones que hace verdadera a A, B, C, D… cuando se las pone en el lugar de i, j,…, también hace verdaderas a M, N, O26

Hemos enfatizado antes el hecho de que las proposiciones deben ser compatibles, puesto que, para Bolzano, la cuantificación universal implica la existencia27. Si las proposiciones fueran incompatibles, no existiría ningún conjunto de ideas que hiciera verdaderas a las premisas A, B, C, D…, luego, en esta terminología, no se podría decir que todas las sustituciones que hacen verdaderas a las premisas… porque esto implicaría que hay alguna que las hace verdaderas.

En este sistema lógico, la derivabilidad de ciertas conclusiones implica que existe algún modelo que hace verdaderas a las premisas. Los convenios en lógica moderna hacen que de una contradicción pueda derivarse cualquier otra proposición, mientras que, en el sistema de Bolzano, de una contradicción no se sigue nada. Esta propiedad podría considerarse nada más que una curiosidad interesante, pero la introducción de la noción de secuencia, que examinaremos un poco más adelante, le asignará una función esencial en el descubrimiento de las verdades científicas. Pero antes, prestemos atención al concepto de equivalencia, que no es más que la propiedad de derivabilidad mutua entre conjuntos de proposiciones compatibles.

Si cada conjunto de ideas que sustituye a i, j,… y hace verdaderas a A, B, C, D…, también hace verdaderas a M, N, O…, y viceversa, cada conjunto de ideas que sustituye a i, j,… y hace verdaderas a M, N, O…, también hace verdadera a A, B, C, D…, entonces digo que las proposiciones A, B, C, D… y M, N, O… tienen entre sí la relación de equivalencia28.

Nótese que tanto la definición de derivabilidad como la de equivalencia dependen de lo que se considera como variable en cada una de las proposiciones.

En consecuencia, cuando decimos que un conjunto dado de proposiciones A, B, C, D… son compatibles, debemos, para ser absolutamente claros, añadir en qué sentido, es decir, respecto de qué ideas i, j,… consideradas como variables, lo afirmamos29.

En cierto sentido, el concepto de derivabilidad de Bolzano es más amplio que el que introdujo después Tarski, pues nada parece impedir que las constantes lógicas se consideren como partes variables en una deducción. Pero también permite construir derivaciones que hacen uso de elementos no lógicos. En el caso de los enunciados,

  1. “Todos los griegos son humanos”, y
  2. “Todos los griegos son mortales”,

la segunda proposición no es derivable de la primera si se considera que las partes variables son “griegos”, “humanos” y “mortales”, pero sí es derivable si se considera que la única variable es “griegos”. En otras palabras, de “Todos los A son B” no podemos derivar “Todos los A son C”, pero sí podemos derivar “Todos los A son mortales” de “Todos los A son hombres”. Evidentemente, se puede dar el salto de (1) a (2) gracias a que sabemos que todos los humanos son mortales y, por ello, se puede reconstruir el argumento sin necesidad de elementos no lógicos:

  1. Todos los A son B, y
  2. todos los B son C,
  3. luego todos los A son C.

Pero los razonamientos en lenguaje natural, que servían de modelo en la Teoría de la ciencia, no suelen hacer explícito este paso intermedio. En lógica moderna, una advertencia tan sencilla como “conduce más despacio, porque este tramo es peligroso” es un claro non sequitur hasta que uno explicita un gran número de pasos intermedios.

El punto importante que quiero destacar aquí es que la teoría de la ciencia permite estudiar esta transición de lo explícito a lo implícito prestando atención a las partes variables de las proposiciones. Si consideramos que “humanos” y “mortales” son partes fijas en el ejemplo que vimos más arriba, podemos eliminar “todos los humanos son mortales” de la deducción, y lo mismo ocurre con cualquier otra premisa sin partes variables, siempre que sea verdadera.

Si una de las proposiciones […], por ejemplo A, no incluye ni una sola de estas variables, podemos prescindir de ella y decir de las proposiciones restantes B, C, D,… que las proposiciones M, N, O,… son derivables también sólo de aquellas, respecto de las ideas i, j, Pues en estas circunstancias, A debe ser verdadera, y sigue siendo verdadera sean cuales sean las ideas que sustituyan a i, j,…30

Las virtudes de este enfoque son todavía más patentes cuando nos volvemos hacia cuestiones de probabilidad y modalidad, pues, al explicitar las partes variables de las proposiciones, se está determinando simultáneamente el rango de posibilidades a tener en consideración en un argumento dado, y se ve que la validez de un razonamiento probabilístico o modal depende de ciertas suposiciones (normalmente implícitas en el contexto) sobre qué cuenta como una posibilidad31. Por ejemplo, en WL § 167, encontramos que

Normalmente decimos simplemente: “La probabilidad de la proposición M con respecto a las proposiciones A, B, C,… es = μ”, esperando que el que nos escucha adivine por el contexto qué ideas estamos concibiendo como variables.

Secuencia

Para acabar, examinaremos la relación que Bolzano denominó Abfolge. Los editores de la Teoría de la ciencia en inglés han traducido el término como ground-consequence (fundamento-consecuencia), intentando capturar la idea encerrada en el término alemán de que unas proposiciones se siguen de otras. Abfolge podría traducirse, quizás, como secuencia y pretende sugerir que algunas proposiciones son anteriores a otras en el orden lógico objetivo, que es independiente del orden en el que una conciencia concreta puede haberlas descubierto. Bolzano da a entender que, dadas dos proposiciones verdaderas A y B, A es el fundamento de B cuando A es la razón por la que B. Pero el término resulta misterioso para el intérprete de su obra por varias razones. En primer lugar, no se define. Esto puede resultar sorprendente, dada la extremada sistematicidad y precisión de la obra, pero resulta que en esta ocasión el autor sospecha que se trata de un término simple, y por tanto carente de la posibilidad de definición, y debe, en consecuencia, conformarse con dar ejemplos que permitan al lector comprenderle. Segundo, se señala correctamente que esta relación es diferente de la de derivabilidad, hasta el punto de que ni siquiera puede ser entendida como un tipo de derivación32.

Los ejemplos propuestos y los criterios (no exhaustivos) señalados para reconocer las relaciones de Abfolge, sugieren al lector una representación del reino (no existente) de las verdades lógicas en la que unas “se apoyan” en otras33, una estructura en la que unas pocas verdades fundamentales dan razón de otras verdades, que a su vez son el fundamento de otras, y así sucesivamente. Bolzano añade en una nota:

[…] este podría ser el lugar apropiado para confesarle a mi lector que a veces se me ocurre la duda de si no será complejo el concepto de la relación de fundamento y consecuencia, aunque afirmé en la discusión previa que era simple, y si no será al final nada más que el concepto de tal organización de las verdades, tal que se puede derivar un número mayor de conclusiones a partir del número mínimo de premisas simples34.

Las dudas aquí son completamente razonables, pues no es evidente que esta ordenación de las verdades sea efectivamente equivalente al sentido inicial de Abfolge. Cuando comparamos las proposiciones

  1. “Ayer hizo más calor que hoy”, y
  2. “El termómetro marca una temperatura menor hoy que ayer”,

percibimos que (1) es una buena respuesta a la pregunta ¿por qué es verdad que (2)? y, sin embargo, (2) no es una respuesta válida a ¿por qué es verdad (1)?, a pesar de que cualquiera de ellas puede deducirse de la otra. Parece que, al preguntar por qué, en este contexto, esperamos una respuesta que esté relacionada con las causas de que una proposición haya resultado verdadera. Pero esta caracterización es válida sólo en el caso de proposiciones empíricas, pues ¿qué podría significar una relación de causa entre verdades puramente conceptuales? Al comentar esta dificultad, R. George llega a la conclusión de que la relación de Abfolge propuesta por Bolzano en el terreno de las matemáticas no es en absoluto convincente. Citamos a continuación in extenso el comentario de George para materializar la discusión precedente.

[Bolzano] escribe sobre el problema de la construcción de un triángulo equilátero dado uno de los lados, que “sin duda, la proposición de que para cada par de puntos a y b existe un tercer punto c tal que las distancias ac = ab = bc, se puede inferir o deducir de la proposición de que dos circunferencias coplanares centradas en a y en b con radio ab se intersecarán en algún punto…, pero quien tenga un concepto claro de fundamento y consecuencia no dirá que la primera proposición está objetivamente fundada en la segunda, sino que la segunda está fundada en la primera; es decir, no es el caso que haya un tercer punto para los dos puntos dados porque se intersequen dos circunferencias, sino que se intersecan porque existe tal punto.” Parece absurdo [concluye George,] intentar decidir si dos lineas se intersecan porque tienen un punto en común o si tienen un punto en común porque se intersecan35.

La objeción de George resulta menos persuasiva en cuanto uno se fija en la definición de circunferencia: el lugar geométrico de los puntos que se encuentran a una distancia dada de un punto. Está claro que si existe un punto a distancia ab tanto de a como de b, entonces tendrá que estar incluido (por la definición de circunferencia) en ambas circunferencias de radio ab centradas en a y en b. El orden de implicación es importante porque, aunque las dos proposiciones citadas por Bolzano son lógicamente equivalentes en la geometría plana euclídea, en general no ocurre lo mismo para otras geometrías. Bolzano tenía, efectivamente, buen olfato para el orden lógico.

Veamos un ejemplo sencillo de geometría curva esférica36. Sean a y b polos opuestos de una esfera. El conjunto de todos los puntos sobre la superficie esférica que están a la misma distancia ab de a está formado por un solo punto: el punto b. Análogamente, la circunferencia centrada en b con radio ab es, de acuerdo con la definición, el punto a. El ejemplo pone de manifiesto que Bolzano tenía razón. Las circunferencias no se intersecan porque no existe ningún punto de la superficie que esté a la misma distancia ab de a y de b, por lo que la existencia del punto considerado es una condición necesaria de la intersección, y la definición de circunferencia es completamente independiente de esta condición. En la geometría plana euclídea, la existencia del punto está garantizada por el quinto postulado: si un segmento interseca a dos rectas, formando en el mismo lado ángulos interiores que suman menos que dos ángulos rectos, entonces, si se extienden indefinidamente las dos rectas, se encuentran en un punto en el lado en el que los ángulos suman menos que dos rectos (ver figura 2). Si se rechaza esta proposición como axioma (como hace la geometría no euclídea), entonces no podemos estar seguros de que exista el punto de intersección que mencionábamos más arriba.

[Dos rectas no paralelas del plano se cortan en un punto]

Figura 2: Ilustración del quinto postulado de Euclides.

Es posible que, en el terreno de las matemáticas, demos razones de los teoremas descendiendo progresivamente hacia los axiomas. Bolzano tenía, sin duda, esta imagen en mente cuando afirmaba que la lógica permitiría reconstruir las ciencias mostrando “verdades que ya conocemos, pero con el orden y las conexiones que ellas mismas prescriben"37.

De acuerdo con mi concepción, la lógica debería ser una teoría de la ciencia, es decir, debería servirnos de guía sobre cómo parcelar el terreno de la verdad de manera apropiada y cultivar lo que pertenece a cada parcela y presentarlo en forma escrita38.

El camino recorrido en este ensayo da la perspectiva suficiente para comprender que con esto Bolzano no sólo está diciendo que la lógica, al consistir en el análisis de los conceptos, permite realizar una taxonomía de las diferentes ciencias, sino que una verdadera teoría de la ciencia permitirá ver el orden lógico de las verdades en las que descansa cada una de las ciencias. Además, defiende que los fundamentos dan pie al descubrimiento de nuevas verdades39.

Y es aquí donde volvemos a la Demostración puramente analítica… con la que comenzamos este ensayo. En aquel artículo de 1817, escribía que

[…] cualquiera que considere que las demostraciones no deberían ser meras confirmaciones [Gewißmachungen], sino más bien fundamentos [Begründungen], es decir, presentaciones de la razón objetiva de la verdad que se demuestra, se percatará de que la demostración estrictamente científica, o la razón objetiva de una verdad que se cumple para todas las magnitudes, estén o no en el espacio, no puede depender de una verdad que se cumple sólo para magnitudes que están en el espacio40.

En resumen: en su trabajo científico, Bolzano estaba poniendo en práctica las conclusiones que había extraído de sus reflexiones lógico-filosóficas, contribuyendo con ello a una mejor fundamentación del análisis matemático. La importancia de Bolzano en la historia de las matemáticas es innegable, y el teorema que lleva su nombre sirve como recordatorio de su contribución, pero puede que no se haya prestado suficiente atención a cómo su obra intelectual surgió de una estrecha colaboración entre matemáticas, lógica y filosofía.


Notas

1 Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, dass zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetzes Resultat gewähren, wenigstens eine reele Wurzel der Gleichung liege, [6] pp. 251-278.
2 Ibid., p. 252.
3 Ibid.
4 Ibid., p. 251.
5 Ibid., p. 252.
6 Ibid.
7 Teoría de la ciencia [Wissenshaftslehre] (de ahora en adelante WL [1]), § 19.
8 WL, § 122.
9 Exner a Bolzano, 27 de Junio de 1833, en [6], p. 89.
10 Ibid., p. 85.
11 KrV ([5]), A58, B82.
12 WL, § 25.
13 KrV, A59-60, B84.
14 KrV, B73.
15 KrV, A158, B197.
16 KrV, B16. El énfasis es mío
17 WL, § 46, Cf. § 15.
18 [3], pp. 64-65.
19 KrV, B1.
20 WL, § 61.
21 [3], § 6.5.
22 Bolzano a Exner, 9 de Julio de 1833, en [3], p. 96.
23 Entre las presentaciones resumidas de esta construcción teórica se pueden consultar, en español, [4], y en inglés, las introducciones de las dos ediciones de la Teoría de la ciencia [1],[2], así como la que acompaña a [3].
24 Una proposición en sí es siempre o verdadera o falsa, una de las dos ([1], § 19). Cf. definición de proposción en sí.
25 WL, § 155.2.
26 Ibid. La traducción es de [4], p. 439.
27 El convenio en la lógica moderna es precisamente el contrario, de “Todos los hombres son mortales” no puede inferirse que “existe un hombre”.
28 WL, § 156.1.
29 WL, § 154.5.
30 WL, § 154.4.
31 Señalo la importancia a esta aplicación de la lógica de Bolzano porque está estrechamente relacionada con el estudio que llevé a cabo sobre la falacia modal.
32 WL, § 200ss.
33 WL, § 220.
34 WL, § 221.
35 [2], p. xxxvii.
36 Se ha seleccionado este ejemplo por su especial sencillez a la hora de ilustrar el argumento, pero se podrían poner otros.
37 WL, § 2.2, el énfasis es mío.
38 WL, § 15.
39 WL, § 14.
40 [6], p. 252.

Bibliografía

[1] Bolzano, B. Theory of Science (ed. J. Berg), Reidel Publishing Company (1973).
[2] Bolzano, B. Theory of Science (ed. R. George), Basil Blackwell (1972).
[3] Bolzano, B. On the Mathematical Method and Correspondence with Exner (ed. Rusnok, P.; George, R.), Rodopi (2004).
[4] Castrillo, P.: La teoría lógica de Bolzano: Una reacción ante el subjetivismo Kantiano, Éndoxa: Series Filosóficas, nº 18, Uned (2004), pp. 417-443.
[5] Kant, I.: Crítica de la Razón Pura (tr. P. Ribas). Alfaguara (1998).
[6] Russ, S. (ed.): The mathematical works of Bernard Bolzano. Oxford University Press (2004).

Creative 
Commons License Valid XHTML 1.0 Strict