Fasores

Introducción

No me di cuenta de que estaba escribiendo un libro hasta que hube completado más o menos la mitad. Después de haber ayudado a mi amigo Juan Ballesteros a crear un curso de introducción a la variable compleja, uno de nuestros alumnos nos habló de la inesperada belleza que había encontrado en ella, pero añadió que “no servía para nada”. Las páginas que siguen contienen parte de una respuesta a aquella conversación. Inicialmente, pensé en grabar unos tres o cuatro vídeos con ejemplos de aplicaciones de la variable compleja y acompañarlos de unos breves apuntes, pero empecé escribiendo sobre fasores y el texto fue creciendo hasta que se me escapó de las manos.

Los fasores extienden la sencilla fórmula de Euler,

e = cos(θ) + i sin(θ),

para permitir que el argumento θ cambie con el tiempo. Por tanto, para leer este libro hace falta estar familiarizado con la aritmética de números complejos y las propiedades de la exponencial. Haremos derivadas sencillas y algunas integrales, por lo que conviene haber estudiado cálculo o análisis matemático.

A menudo partiremos de la segunda ley de Netwon, expresada comúnmente como fuerza igual a masa por aceleración. Como la aceleración se define como la segunda derivada de la posición x con el tiempo y la fuerza generalmente depende de la posición, escribiremos la ley así:

m d2x/dt2 = F(x).

Un problema típico de mecánica consiste en determinar cómo cambia la posición con el tiempo, dada a fuerza y unas condiciones iniciales. En términos matemáticos, queremos encontrar una función del tiempo x(t) que satisfaga la ecuación anterior. Como la incógnita es una función (en lugar de un número) y la igualdad involucra expresiones con la función y sus derivadas, decimos que queremos resolver una ecuación diferencial. Aprenderemos a resolver algunas sencillas utilizando fasores. También nos encontraremos ante ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (es decir, que la función incógnita depende de más de una variable).

Empezando en el tercer capítulo, haremos uso de sistemas de ecuaciones lineales, matrices y vectores, a un nivel que debería resultar accesible a lectores que hayan estudiado ya álgebra lineal, y que conozcan los conceptos de autovector y autovalor (llamados tambien vectores y valores propios). Si no te incomodan estos párrafos, adelante, este libro es para ti.

En el siglo XVIII, de Moivre, Euler y Fourier comenzaron a operar con números complejos como hacemos en estos capítulos. Imagino una escena con música de clave a la luz de un quinqué. Un matemático se quita una peluca de rizos blancos y se sienta ante los papeles de su escritorio con pluma y tintero. Medita sobre los movimientos cíclicos, péndulos, vibraciones y ondas, con la mirada vagando distraída por la habitación hasta posarse sobre la cara de su reloj de cuerda. Siente el leve latido mecánico y le parece percibir en su mente el giro coordinado de ruedas dentadas. De pronto, surge la idea, carga la pluma y se pone a escribir.

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Índice general

  1. Introducción
  2. Osciladores
    1. La idea básica
    2. Derivadas
    3. El oscilador armónico
    4. El oscilador amortiguado
    5. El oscilador forzado
  3. Ecuaciones diferenciales
    1. Coeficientes constantes
    2. Ecuación equidimensional de Euler-Cauchy
    3. Ecuación de ondas
    4. Ecuación del calor
  4. Vibraciones
    1. Circuitos RLC
    2. Cajas negras
    3. Pequeñas vibraciones
    4. Osciladores acoplados
    5. Modos normales
    6. Forzar y amortiguar
  5. Ondas
    1. Ondas de presión y de cizalla
    2. Ondas estacionarias y armónicos
    3. Capa lı́mite de Stokes
    4. Ondas electromagnéticas
    5. La ecuación de Schrödinger
  6. Una brevı́sima introducción a las series de Fourier
    1. Expresar las condiciones iniciales como suma de fasores
    2. Producto escalar
    3. Espacios lineales de funciones
    4. Series de Fourier
    5. Ondas con disipación
    6. Transformada de Fourier
  7. Epı́logo
  8. Respuestas a los ejercicios
    1. Osciladores
    2. Ecuaciones diferenciales
    3. Vibraciones
    4. Ondas
    5. Una brevı́sima introducción a las series de Fourier


cc-by-nc.sa Marc Meléndez Schofield (2020).

© 2020, Texto y figuras: Marc Meléndez Schofield. Fasores se distribuye bajo la licencia Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International (cc-by-nc-sa 4.0). Resumen y detalles legales en:
https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/

cc-by-sa M. Meléndez Schofield / Hallwyl Museum / H. Bonnevier (2020).

© 2020, Portada, contraportada e imagen del título: Marc Meléndez Schofield / Hallwyl Museum / Helena Bonnevier. Las imágenes son una edición de fotografías de Helena Bonnevier en el museo Hallwyl. Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 International (cc-by-nc-sa 4.0). Resumen y detalles legales en:
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/